www.wikidata.da-dk.nina.az

Mercatorprojektion er en cylindrisk kortprojektion som første gang blev fremstillet af den flamske geograf og kartograf

Mercatorprojektion

Mercatorprojektion er en cylindrisk kortprojektion, som første gang blev fremstillet af den flamske geograf og kartograf Gerardus Mercator i 1569. Den blev standardmetoden ved fremstilling af kort til nautiske formål, fordi den kunne vise linjer med konstant sand pejling eller sand kurs som rette linjer. Disse er kendt som loxodromer eller kurslinjer.

Mercators verdenskort Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate (1569)

Mercatorprojektion giver et kort, hvor retninger og former er nøjagtige, men hvor der sker en forvrængning af størrelsen, som bliver stadig mere forværret, jo længere afstanden er fra ækvator.

Egenskaber og historie Rediger

Mercators kort fra 1569 var en stor planisfære, som målte 202 gange 124 cm og var trykt på atten selvstændige ark. Som det gælder alle cylindriske projektioner, er breddekredse og meridianer rette linjer, som står vinkelret på hinanden. For at opnå dette må den uundgåelige strækning af kortet i øst-vestlig retning, som forøges med afstanden fra ækvator, følges af en tilsvarende strækning i retningen nord-syd, så øst-vest skalaen for ethvert punkt er den samme som nord-syd skalaen, hvilket gør projektionen konform (vinkeltro). Et kort i Mercatorprojektion kan aldrig fuldt ud vise polområderne, fordi den lineære skalering bliver uendelig stor ved polerne. Da projektionen er konform, bevares vinklerne overalt, men skalaen varierer fra sted til sted, og den voksende unøjagtighed betyder, at Mercatorprojektioner er praktisk talt ubrugelige ved bredder over 70° nord og syd.

Et stjernekort med cylindrisk projektion, svarende til Mercatorprojektion, fra en bog af Xin Yi Xiang Fa Yao, udgivet i 1092 af den kinesiske videnskabsmand Su Song.

Alle linjer med samme pejling vises som rette linjestykker på et Mercatorkort. Dette er netop den rute, som sædvanligvis følges af skibe på havet, hvor der anvendes kompas til at vise de geografiske retninger og til at følge en kurs. Mercatorprojektionens to egenskaber, konformaliteten og loxodromerne, gør den i enestående grad egnet til maritim navigation: Kurser og pejlinger findes ved brug af vindrose eller vinkelmåler, og de tilsvarende retninger overføres let fra punkt til punkt på kortet, f.eks. ved brug af en parallellineal.

De kortforklaringer og det navn (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate: Ny og forbedret beskrivelse af Jorden, tilpasset til brug for navigation), som Mercator gav sit verdenskort, viser, at dets formål udtrykkeligt var at skulle bruges til maritim navigation. Skønt han ikke har forklaret konstruktionsmetoden, benyttede Mercator formentlig en grafisk metode, hvor han overførte nogle loxodromer, som var plottet ind på en globus til en kvadratisk flade og derpå tilpassede afstanden mellem breddegraderne, så disse linjer blev lige og dannede samme vinkel med længdekredsene som på globen.

Udviklingen af Mercatorprojektionen var et stort gennembrud for tegningen af søkort i det 16. århundrede. Det var imidlertid langt forud for sin tid, eftersom de gamle navigationsteknikker ikke var kompatible med anvendelsen af sådanne kort. Der var to hovedproblemer, som forhindrede anvendelsen: For det første umuligheden af at foretage bestemmelse af længdegrad til søs med passende nøjagtighed, og for det andet den kendsgerning, at man brugte den magnetiske pol og ikke den geografiske til retningsfastsættelse. Først omkring midten af det 18. århundrede, hvor skibsuret var opfundet, og hvor fordelingen af den magnetiske deklination på Jordens overflade var kendt, kunne Mercatorprojektionen anvendes fuldt ud af navigatører.

Der er flere, som har bidraget afgørende til udviklingen af Mercatorprojektion:

  • Tyskeren Erhard Etzlaub (ca. 1460–1532), som indgraverede "compas kort" i miniature (omkring 10 cm × 8 cm) af Europa og dele af Afrika, breddegraderne 67°–0°, for at kunne justere sine bærbare lomme-solure, ansås i flere årtier for at have udarbejdet en "projektion identisk med Mercators". Det er siden vist at være en fejl, som er sporet tilbage til tvivlsomme undersøgelser i 1917.
  • Den portugisiske matematiker og kosmograf Pedro Nunes (1502–1578), der som den første beskrev loxodromer og deres brug i navigation til søs, og som foreslog udarbejdelse af adskillige søkort i ækvidistant cylindrisk projektion for at fremstille verden med et minimum af vinkelforvridning (1537).
  • Den engelske mahematiker Edward Wright (ca. 1558–1615), som formaliserede Mercatorprojektionens matematik (1599) og offentliggjorde nøjagtige tabeller for konstruktionen (1599, 1610).
  • De engelske matematikere Thomas Harriot (1560–1621) og Henry Bond (ca. 1600–1678), som uafhængigt af hinanden (ca. 1600 og 1645), forbandt Mercatorprojektionen med dens moderne, logaritmiske formel, der senere er udledt ved infinitesimalregning.

Projektionens matematik Rediger

Relation mellem den lodrette position på kortet (horisontal på grafen) og bredden (vertikal på grafen).

De følgende ligninger bestemmer x- og y-koordinaterne til et punkt på et Mercatorkort, ud fra dets bredde φ og længde λ (hvor λ0 er længden for kortets centrum):

Dette er den inverse Gudermannfunktion:

Dette er Gudermannfunktionen:

Skalaen er proportional med sekansen til bredden φ, som bliver arbitrært høj nær polerne, hvor φ = ±90°. Desuden er, som det ses af formlerne, polernes y plus eller minus uendelig.

Udledning af projektionen Rediger

Mercatorprojektion er en cylindrisk projektion.

Antag, at Jorden er kugleformet. (Den er i virkeligheden en let fladtrykt sfæroide, men for kort i lille skala er forskellen ubetydelig. Yderligere nøjagtighed kan opnås ved at indskyde conformel bredde.) Der søges en transformation fra længde-bredde (λ, φ) til de kartesiske (x, y), som er en "cylinder-tangent til ækvator" (dvs. at x = λ) og conformel, så:

Fra x = λ får vi

hvilket giver

Derfor er y kun en funktion af φ med , hvor en integraletabel giver

Det er belejligt at henføre φ = 0 tíl y = 0, så sæt C = 0.

Brug Rediger

Alle cirklerne er lige store, fordelt på Jorden i 3D.
Mercatorprojektion.
Projektionen gengivet som sinusoide.

Som ved alle kortprojektioner, der forsøger at afbilde en kurvet overflade på en plan side, bliver kortets form forvredet i forhold til det sande udseende af Jordens overflade. Mercatorprojektionens fejl omkring størrelsen af arelaer langt fra ækvator kan eksemplificeres således:

  • Grønland ser ud til at være nogenlunde af størrelse som Afrika, selv om Afrikas areal er næsten fjorten gange større end Grønlands.
  • Alaska ser ud til at have samme eller endog lidt større areal end Brasilien, selv om Braziliens areal i virkeligheden er mere end fem gange større end Alaskas.
  • Finlands længde i retningen nord-syd ser ud til at være af samme størrelse som Indiens, mens denne afstand i Indien er langt større.

Skønt Mercatorprojektionen på grund af sine enestående egenskaber stadig er i almindelig brug ved navigation, er kartografer enige om, at dens fejl er så store, at den ikke er passende at bruge til at fremstille hele verden i publikationer eller som vægkort. Mercator selv brugte sinusoidisk projektion til at vise relative arealstørrelser. Som følge af denne kritik benyttes Mercators metode nu fortrinsvis til atlas over områder, hvor fortegnelsen er lille, mens det foretrækkes at benytte andre cylindriske projektioner til verdenskort og for områder langt fra ækvator, eller at benytte en projektion med bevaret areal.

Arno Peters gav anledning til nogen uenighed, da han foreslog, hvad der er kendt som Gall-Peters-projektion, som er en let modificeret udgave af Lamberts cylindriske projektion med bevaret areal, som værende selve alternativet til Mercator. En resolution i 1989 fra syv nordamerikanske geografigrupper modsatte sig brugen af ethvert rektangulært verdenskort, herunder Mercator- og Gall-Peters-kortene.

Google Maps bruger Mercatorprojektion til sine billeder. Maximumbredden φ i Google Maps optræder ved ±85.05113 grader, når Mercators y-værdi = π. Eller mere præcist:

Eksterne henvisninger Rediger

Kilder Rediger

  1. Needham, Volume 3, 227.
  2. Needham, Volume 4, Part 3, 569.
  3. American Cartographer. 1989. 16(3): 222-223.

Bibliografi Rediger

  • Snyder, John P. (1987). Map Projections - A Working Manual. (Kortprojektioner - en arbejdsmanual). U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. Bogen kan hentes fra USGS siderne 1. maj 2011 hos Wayback Machine. (engelsk)
  • Monmonier, Mark (2004). Rhumb Lines and Map Wars (Loxodromer og kortkrige). Chicago: The University of Chicago Press. (engelsk)
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth (Videnskab og civilisation i Kina: Bind 3; Matematik og videnskaberne om himlene og jorden). Taipei: Caves Books Ltd. (engelsk)
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. (Videnskab og civilisation i Kina: Bind 4, Fysik og fysisk teknologi, del 3, ingeniørarbejde og sejlads.) Taipei: Caves Books Ltd. (engelsk)
  • Leif Kahl Kristensen (10. juli 2013), "Mercatorprojektionen", Geoforum Perspektiv, 12 (23), Wikidata Q104080885
wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.
Udgivelsesdato:
Mercatorprojektion er en cylindrisk kortprojektion som forste gang blev fremstillet af den flamske geograf og kartograf Gerardus Mercator i 1569 Den blev standardmetoden ved fremstilling af kort til nautiske formal fordi den kunne vise linjer med konstant sand pejling eller sand kurs som rette linjer Disse er kendt som loxodromer eller kurslinjer Mercators verdenskort Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate 1569 Mercatorprojektion giver et kort hvor retninger og former er nojagtige men hvor der sker en forvraengning af storrelsen som bliver stadig mere forvaerret jo laengere afstanden er fra aekvator Indholdsfortegnelse 1 Egenskaber og historie 2 Projektionens matematik 3 Udledning af projektionen 4 Brug 5 Eksterne henvisninger 6 Kilder 7 BibliografiEgenskaber og historie RedigerMercators kort fra 1569 var en stor planisfaere som malte 202 gange 124 cm og var trykt pa atten selvstaendige ark Som det gaelder alle cylindriske projektioner er breddekredse og meridianer rette linjer som star vinkelret pa hinanden For at opna dette ma den uundgaelige straekning af kortet i ost vestlig retning som foroges med afstanden fra aekvator folges af en tilsvarende straekning i retningen nord syd sa ost vest skalaen for ethvert punkt er den samme som nord syd skalaen hvilket gor projektionen konform vinkeltro Et kort i Mercatorprojektion kan aldrig fuldt ud vise polomraderne fordi den lineaere skalering bliver uendelig stor ved polerne Da projektionen er konform bevares vinklerne overalt men skalaen varierer fra sted til sted og den voksende unojagtighed betyder at Mercatorprojektioner er praktisk talt ubrugelige ved bredder over 70 nord og syd nbsp Et stjernekort med cylindrisk projektion svarende til Mercatorprojektion fra en bog af Xin Yi Xiang Fa Yao udgivet i 1092 af den kinesiske videnskabsmand Su Song 1 2 Alle linjer med samme pejling vises som rette linjestykker pa et Mercatorkort Dette er netop den rute som saedvanligvis folges af skibe pa havet hvor der anvendes kompas til at vise de geografiske retninger og til at folge en kurs Mercatorprojektionens to egenskaber konformaliteten og loxodromerne gor den i enestaende grad egnet til maritim navigation Kurser og pejlinger findes ved brug af vindrose eller vinkelmaler og de tilsvarende retninger overfores let fra punkt til punkt pa kortet f eks ved brug af en parallellineal De kortforklaringer og det navn Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate Ny og forbedret beskrivelse af Jorden tilpasset til brug for navigation som Mercator gav sit verdenskort viser at dets formal udtrykkeligt var at skulle bruges til maritim navigation Skont han ikke har forklaret konstruktionsmetoden benyttede Mercator formentlig en grafisk metode hvor han overforte nogle loxodromer som var plottet ind pa en globus til en kvadratisk flade og derpa tilpassede afstanden mellem breddegraderne sa disse linjer blev lige og dannede samme vinkel med laengdekredsene som pa globen Udviklingen af Mercatorprojektionen var et stort gennembrud for tegningen af sokort i det 16 arhundrede Det var imidlertid langt forud for sin tid eftersom de gamle navigationsteknikker ikke var kompatible med anvendelsen af sadanne kort Der var to hovedproblemer som forhindrede anvendelsen For det forste umuligheden af at foretage bestemmelse af laengdegrad til sos med passende nojagtighed og for det andet den kendsgerning at man brugte den magnetiske pol og ikke den geografiske til retningsfastsaettelse Forst omkring midten af det 18 arhundrede hvor skibsuret var opfundet og hvor fordelingen af den magnetiske deklination pa Jordens overflade var kendt kunne Mercatorprojektionen anvendes fuldt ud af navigatorer Der er flere som har bidraget afgorende til udviklingen af Mercatorprojektion Tyskeren Erhard Etzlaub ca 1460 1532 som indgraverede compas kort i miniature omkring 10 cm 8 cm af Europa og dele af Afrika breddegraderne 67 0 for at kunne justere sine baerbare lomme solure ansas i flere artier for at have udarbejdet en projektion identisk med Mercators Det er siden vist at vaere en fejl som er sporet tilbage til tvivlsomme undersogelser i 1917 Den portugisiske matematiker og kosmograf Pedro Nunes 1502 1578 der som den forste beskrev loxodromer og deres brug i navigation til sos og som foreslog udarbejdelse af adskillige sokort i aekvidistant cylindrisk projektion for at fremstille verden med et minimum af vinkelforvridning 1537 Den engelske mahematiker Edward Wright ca 1558 1615 som formaliserede Mercatorprojektionens matematik 1599 og offentliggjorde nojagtige tabeller for konstruktionen 1599 1610 De engelske matematikere Thomas Harriot 1560 1621 og Henry Bond ca 1600 1678 som uafhaengigt af hinanden ca 1600 og 1645 forbandt Mercatorprojektionen med dens moderne logaritmiske formel der senere er udledt ved infinitesimalregning Projektionens matematik Rediger nbsp Relation mellem den lodrette position pa kortet horisontal pa grafen og bredden vertikal pa grafen De folgende ligninger bestemmer x og y koordinaterne til et punkt pa et Mercatorkort ud fra dets bredde f og laengde l hvor l0 er laengden for kortets centrum Dette er den inverse Gudermannfunktion x l l 0 y ln tan p 4 f 2 1 2 ln 1 sin f 1 sin f sinh 1 tan f tanh 1 sin f ln tan f sec f displaystyle begin aligned x amp lambda lambda 0 y amp ln left tan left frac pi 4 frac varphi 2 right right amp frac 1 2 ln left frac 1 sin varphi 1 sin varphi right amp sinh 1 left tan varphi right amp tanh 1 left sin varphi right amp ln left tan varphi sec varphi right end aligned nbsp Dette er Gudermannfunktionen f 2 tan 1 e y p 2 tan 1 sinh y l x l 0 displaystyle begin aligned varphi amp 2 tan 1 e y frac pi 2 amp tan 1 sinh y lambda amp x lambda 0 end aligned nbsp Skalaen er proportional med sekansen til bredden f som bliver arbitraert hoj naer polerne hvor f 90 Desuden er som det ses af formlerne polernes y plus eller minus uendelig Udledning af projektionen Rediger nbsp Mercatorprojektion er en cylindrisk projektion Antag at Jorden er kugleformet Den er i virkeligheden en let fladtrykt sfaeroide men for kort i lille skala er forskellen ubetydelig Yderligere nojagtighed kan opnas ved at indskyde conformel bredde Der soges en transformation fra laengde bredde l f til de kartesiske x y som er en cylinder tangent til aekvator dvs at x l og conformel sa x l cos f y f displaystyle frac partial x partial lambda cos varphi frac partial y partial varphi nbsp y l cos f x f displaystyle frac partial y partial lambda cos varphi frac partial x partial varphi nbsp Fra x l far vi x l 1 displaystyle frac partial x partial lambda 1 nbsp x f 0 displaystyle frac partial x partial varphi 0 nbsp hvilket giver 1 cos f y f displaystyle 1 cos varphi frac partial y partial varphi nbsp 0 y l displaystyle 0 frac partial y partial lambda nbsp Derfor er y kun en funktion af f med y sec f displaystyle y sec varphi nbsp hvor en integraletabel giver y ln sec f tan f C displaystyle y ln sec varphi tan varphi C nbsp Det er belejligt at henfore f 0 til y 0 sa saet C 0 Brug Rediger nbsp Alle cirklerne er lige store fordelt pa Jorden i 3D nbsp Mercatorprojektion nbsp Projektionen gengivet som sinusoide Som ved alle kortprojektioner der forsoger at afbilde en kurvet overflade pa en plan side bliver kortets form forvredet i forhold til det sande udseende af Jordens overflade Mercatorprojektionens fejl omkring storrelsen af arelaer langt fra aekvator kan eksemplificeres saledes Gronland ser ud til at vaere nogenlunde af storrelse som Afrika selv om Afrikas areal er naesten fjorten gange storre end Gronlands Alaska ser ud til at have samme eller endog lidt storre areal end Brasilien selv om Braziliens areal i virkeligheden er mere end fem gange storre end Alaskas Finlands laengde i retningen nord syd ser ud til at vaere af samme storrelse som Indiens mens denne afstand i Indien er langt storre Skont Mercatorprojektionen pa grund af sine enestaende egenskaber stadig er i almindelig brug ved navigation er kartografer enige om at dens fejl er sa store at den ikke er passende at bruge til at fremstille hele verden i publikationer eller som vaegkort Mercator selv brugte sinusoidisk projektion til at vise relative arealstorrelser Som folge af denne kritik benyttes Mercators metode nu fortrinsvis til atlas over omrader hvor fortegnelsen er lille mens det foretraekkes at benytte andre cylindriske projektioner til verdenskort og for omrader langt fra aekvator eller at benytte en projektion med bevaret areal Arno Peters gav anledning til nogen uenighed da han foreslog hvad der er kendt som Gall Peters projektion som er en let modificeret udgave af Lamberts cylindriske projektion med bevaret areal som vaerende selve alternativet til Mercator En resolution i 1989 fra syv nordamerikanske geografigrupper modsatte sig brugen af ethvert rektangulaert verdenskort herunder Mercator og Gall Peters kortene 3 Google Maps bruger Mercatorprojektion til sine billeder Maximumbredden f i Google Maps optraeder ved 85 05113 grader nar Mercators y vaerdi p Eller mere praecist 1 2 ln 1 sin f 1 sin f p f arcsin e 2 p 1 e 2 p 1 displaystyle frac 1 2 ln bigg frac 1 sin varphi 1 sin varphi bigg pm pi Rightarrow varphi pm arcsin bigg frac mathrm e 2 pi 1 mathrm e 2 pi 1 bigg nbsp Eksterne henvisninger RedigerAd maiorem Gerardi Mercatoris gloriam indeholder billeder af Mercators verdenskort fra 1569 Tabel med eksempler og egenskaber for alle almindelige projektioner fra radicalcartography net En interaktive Javaapplet til undersogelse af de metriske deformationer ved Mercatorprojektion Arkiveret 7 september 2017 hos Wayback Machine Kilder Rediger Needham Volume 3 227 Needham Volume 4 Part 3 569 American Cartographer 1989 16 3 222 223 Bibliografi RedigerSnyder John P 1987 Map Projections A Working Manual Kortprojektioner en arbejdsmanual U S Geological Survey Professional Paper 1395 United States Government Printing Office Washington D C Bogen kan hentes fra USGS siderne Arkiveret 1 maj 2011 hos Wayback Machine engelsk Monmonier Mark 2004 Rhumb Lines and Map Wars Loxodromer og kortkrige Chicago The University of Chicago Press engelsk Needham Joseph 1986 Science and Civilization in China Volume 3 Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth Videnskab og civilisation i Kina Bind 3 Matematik og videnskaberne om himlene og jorden Taipei Caves Books Ltd engelsk Needham Joseph 1986 Science and Civilization in China Volume 4 Physics and Physical Technology Part 3 Civil Engineering and Nautics Videnskab og civilisation i Kina Bind 4 Fysik og fysisk teknologi del 3 ingeniorarbejde og sejlads Taipei Caves Books Ltd engelsk Leif Kahl Kristensen 10 juli 2013 Mercatorprojektionen Geoforum Perspektiv 12 23 Wikidata Q104080885 Hentet fra https da wikipedia org w index php title Mercatorprojektion amp oldid 11288996