www.wikidata.da-dk.nina.az

Tværsum men af et givet heltal i titalssystemet betegner i almindelighed den sum som fremkommer ved at addere den numeri

Tværsum

Tværsummen af et givet heltal i titalssystemet betegner i almindelighed den sum, som fremkommer ved at addere den numeriske værdi af tallets enkelte cifre. Hvis den fremkomne tværsum har flere cifre, kan der dannes en ny tværsum af disse og så fremdeles, til man når et encifret tal, der betegnes den reducerede tværsum eller tværsummernes tværsum. Ofte vil man dog se benævnelsen tværsum benyttet, hvor der menes den reducerede tværsum.

Tværsummer kan benyttes i opstilling af en prøvefunktion til at afgøre et tals delelighed med et andet tal. En anden nyttig funktion er at benytte den reducerede tværsum (som regel i en vægtet udgave) som et tilføjet kontrolciffer til et tal.

Fremgangsmåden for dannelse af tværsummer kan generaliseres til anvendelse i ethvert positionstalsystem, og yderligere er der mulighed for at danne tværsummer med vægtning af tallets cifre.

Tværsumstyper Rediger

Simpel tværsum (ikke-alternerende) Rediger

Tallet 5708 har tværsummen 20, fordi 5 + 7 + 0 + 8 = 20. Tværsummen afgør direkte et tals delelighed med tallene 3 og 9, fordi disse vil gå op i tallet, hvis de går op i tværsummen.

Den reducerede tværsum Rediger

Når tværsummen er flercifret, vil man normalt fortsætte med at finde tværsummen af tværsummen osv., indtil man har et encifret tal. Eksempel: 93 → 9+3 → 12 → 1+2 → 3. Den reducerede tværsum kaldes også for tværsummernes tværsum eller den itererede tværsum

Tværsummernes tværsum for tal i titalssystemet vil i sagens natur være et tal mellem 0 og 9, men derudover gælder, at hvis tværsummernes tværsum for et givet tal er mindre end 9, udtrykker tværsummen den rest, man får ved at dividere det oprindelige tal med 9. Er tværsummernes tværsum lig med 0 eller 9, er det oprindelige tal deleligt med 9. Tværsummernes tværsum af et tal X kaldes derfor også ni-resten og er altså lig med X mod 9.

Ni-prøve Rediger

Ni-resten fra den reducerede tværsum blev før lommeregnernes tid benyttet til at kontrollere, at en multiplikation var korrekt. Det gælder nemlig, at faktorernes ni-rest ganget sammen skal give resultatets ni-rest.

F.eks kan man kontrollere gangestykket 923 * 187 = 172.601 således:

  • ni-resten for 923 er 9+2+3 = 14, 1+4 = 5
  • ni-resten for 187 er 1+8+7 = 16, 1+6 = 7
  • ni-resten for 172.601 = 1+7+2+6+0+1=17, 1+7 = 8
  • 5 * 7 = 35 og ni-resten for 35 er 3+5 = 8, altså det samme som ni-resten for 172.601. Så er det sandsynliggjort, at resultatet er rigtigt.

Ni-prøven finder ikke alle fejl, fordi to cifre i resultatet f.eks. kan ombyttes, uden at ni-resten ændrer sig. Men fordelen ved den prøve er, at den er let at gennemføre og ofte vil afsløre gængse regnefejl ved manuel udregning.

Alternerende tværsum Rediger

Hvis der i stedet for addition benyttes skiftevis addition og subtraktion af cifrene i et heltal i titalssystemet, får man tallets rest i modulus 11. Ved brug af denne metode skal det mindst betydende ciffer lægges til, tierne trækkes fra osv. (så det er lettest at beregne fra højre mod venstre). Eksempel: Tallet 12042 giver derfor den alternerende tværsum 2−4+0−2+1 = −3, altså 8 modulus 11.

Ikke-alternerende n-tværsum Rediger

Den ikke-alternerende 2-tværsum q af tallet n = 36036 er q = 3+60+36 = 99. Den er et delelighedskriterium for tallene 3, 9, 11, 33 og 99, for det gælder, at den ikke-alternerende 2-tværsum q af et decimaltal n kan deles med et disse tal, når tallet går op i n.

Den ikke-alternerende 3-tværsum af tallet n = 36036 er q = 36+036 = 72. Den er et delelighedskriterium for tallene 3, 9, 27, 37, 111, 333 og 999, for det gælder, at den ikke-alternerende 3-tværsum q af et decimaltal n kan deles med et af disse tal, når tallet går op i n.

Alternerende n-tværsum Rediger

Den alternerende 2-tværsum q af tallet n = 36036 er q = 3-60+36 = -21. Den er et delelighedskriterium for tallet 101, fordi den alternerende 2-tværsum q af et decimaltal n netop kan deles med 101, når n kan deles med 101.

Den alternerende 3-tværsum q af tallet n = 36036 er q = 36-036 = 0. Den er et delelighedskriterium for tallene 7, 11, 13, 77, 91 og 143, for det gælder, at den alternerende 3-tværsum q af et decimaltal n kan deles med et af disse tal, når tallet går op i n.

Vægtet tværsum Rediger

En generalisering af tværsums-begrebet er den vægtede tværsum, hvor tallets cifre først multipliceres med værdierne fra en talfølge, og de deraf fremkomne resultater adderes. Der begyndes med mindst betydende ciffer (omend rækkefølgen er ligegyldig, når det gælder den simple tværsum). Vægtningsfølgen kan være periodisk eller ikke-periodisk.

Et eksempel er den periodiske følge: 1, 3, 2, −1, −3, −2, ..., der med tallet 422625 giver følgende vægtede tværsum (idet der begyndes med mindst betydende ciffer):

Den således vægtede tværsum udgør en delelighedsregel for tallet 7. Også for andre naturlige tal kan man finde sådanne periodiske følger, som f.eks.:

  • for 11 følgen +1, −1, ... Denne giver den såkaldte alternerende tværsum
  • for 13 følgen 1, −3, −4, −1, 3, 4, ...

For de fleste divisorer er det imidlertid ikke gennemførligt at undersøge delelighed ved hjælp af sådanne tværsummer, fordi der kun findes få periodiske vægtningsfølger, som er lette at huske.

Hvis der søges efter en passende delelighedsregel for et naturligt tal m, så deler man potenserne af 10 med m. Resterne fra disse divisioner udgør vægtene.

Eksempel: m = 7 Rediger

Vægtningsfølgen bliver derfor 1, 3, 2, −1, −3, −2, ...

Kontrolciffer Rediger

Et tals vægtede, reducerede (en-cifrede) tværsum benyttes ofte som kontrolciffer, dvs. at denne tværsum føjes til tallet som et ekstra ciffer. Derved kan der maskinelt foretages kontrol af tallets rigtighed.

Et dansk CPR-nummer skulle, når det vægtes med faktorerne (4,3,2,7,6,5,4,3,2,1), give 0 modulus 11. Dette blev dog afskaffet i 2007. Et internationalt standardbognummer (ISBN) skal, når det vægtes med faktorerne (10,9,8,7,6,5,4,3,2,1), give 0 modulus 11.

Et specielt problem opstår hvis kontrolcifferet skal være 10, for CPR-numre undlod man at bruge sådanne numre, for ISBN numre benyttes X som kontrolciffer.

En EAN stregkode skal, når den vægtes med (1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1), give 0 modulus 10.

Eksempel Rediger

For ISBN 87-571-0689-4 er

altså er dette et gyldigt ISBN-10 nummer.

For EAN stregkoden 4 048962 113808 er

altså er dette en gyldig stregkode.

Tværsumssætning Rediger

  • Når følgende er givet:
    • Et positionstalsystem med grundtallet n+1 (hvor ).
    • t er en divisor i n (hvor ).
    • et naturligt tal a.
  • Så gælder:
    • Tallet a er deleligt med t når, og kun når, dets tværsum (i dette positionssystem) er deleligt med t.

I decimalsystemet, hvor grundtallet jo er 10, er n=9. t kan derfor være {1,3,9}. Følgelig kan man anvende tværsumsberegningen til at afgøre et tals delelighed med 3 og med 9.

I det hexadecimale talsystem er n=15, hvorfor t kan være {1,3,5,15}. Følgelig kan man anvende tværsumsberegningen til at afgøre et tals delelighed med 3, 5 og med 15.

Itereret tværsum Rediger

Er tværsummen af et tal k et flercifret tal, kan tværsumsberegningen som nævnt gentages, indtil resultatet er en-cifret i det pågældende talsystem. For den således fremkomne itererede tværsum gælder (idet t som ovenfor er talsystemets grundtal – 1):

Eksempel i decimalsystemet:

hvorved det gælder, at

I særdeleshed er et positivt, naturligt tal altså deleligt med 9, når dets itererede (reducerede) tværsum er 9.

Se også Rediger

wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.
Udgivelsesdato:
Tvaersummen af et givet heltal i titalssystemet betegner i almindelighed den sum som fremkommer ved at addere den numeriske vaerdi af tallets enkelte cifre Hvis den fremkomne tvaersum har flere cifre kan der dannes en ny tvaersum af disse og sa fremdeles til man nar et encifret tal der betegnes den reducerede tvaersum eller tvaersummernes tvaersum Ofte vil man dog se benaevnelsen tvaersum benyttet hvor der menes den reducerede tvaersum Tvaersummer kan benyttes i opstilling af en provefunktion til at afgore et tals delelighed med et andet tal En anden nyttig funktion er at benytte den reducerede tvaersum som regel i en vaegtet udgave som et tilfojet kontrolciffer til et tal Fremgangsmaden for dannelse af tvaersummer kan generaliseres til anvendelse i ethvert positionstalsystem og yderligere er der mulighed for at danne tvaersummer med vaegtning af tallets cifre Indholdsfortegnelse 1 Tvaersumstyper 1 1 Simpel tvaersum ikke alternerende 1 2 Den reducerede tvaersum 1 2 1 Ni prove 1 3 Alternerende tvaersum 1 4 Ikke alternerende n tvaersum 1 5 Alternerende n tvaersum 1 6 Vaegtet tvaersum 1 6 1 Eksempel m 7 1 7 Kontrolciffer 1 7 1 Eksempel 2 Tvaersumssaetning 3 Itereret tvaersum 4 Se ogsaTvaersumstyper RedigerSimpel tvaersum ikke alternerende Rediger Tallet 5708 har tvaersummen 20 fordi 5 7 0 8 20 Tvaersummen afgor direkte et tals delelighed med tallene 3 og 9 fordi disse vil ga op i tallet hvis de gar op i tvaersummen Den reducerede tvaersum Rediger Nar tvaersummen er flercifret vil man normalt fortsaette med at finde tvaersummen af tvaersummen osv indtil man har et encifret tal Eksempel 93 9 3 12 1 2 3 Den reducerede tvaersum kaldes ogsa for tvaersummernes tvaersum eller den itererede tvaersumTvaersummernes tvaersum for tal i titalssystemet vil i sagens natur vaere et tal mellem 0 og 9 men derudover gaelder at hvis tvaersummernes tvaersum for et givet tal er mindre end 9 udtrykker tvaersummen den rest man far ved at dividere det oprindelige tal med 9 Er tvaersummernes tvaersum lig med 0 eller 9 er det oprindelige tal deleligt med 9 Tvaersummernes tvaersum af et tal X kaldes derfor ogsa ni resten og er altsa lig med X mod 9 Ni prove Rediger Ni resten fra den reducerede tvaersum blev for lommeregnernes tid benyttet til at kontrollere at en multiplikation var korrekt Det gaelder nemlig at faktorernes ni rest ganget sammen skal give resultatets ni rest F eks kan man kontrollere gangestykket 923 187 172 601 saledes ni resten for 923 er 9 2 3 14 1 4 5 ni resten for 187 er 1 8 7 16 1 6 7 ni resten for 172 601 1 7 2 6 0 1 17 1 7 8 5 7 35 og ni resten for 35 er 3 5 8 altsa det samme som ni resten for 172 601 Sa er det sandsynliggjort at resultatet er rigtigt Ni proven finder ikke alle fejl fordi to cifre i resultatet f eks kan ombyttes uden at ni resten aendrer sig Men fordelen ved den prove er at den er let at gennemfore og ofte vil afslore gaengse regnefejl ved manuel udregning Alternerende tvaersum Rediger Hvis der i stedet for addition benyttes skiftevis addition og subtraktion af cifrene i et heltal i titalssystemet far man tallets rest i modulus 11 Ved brug af denne metode skal det mindst betydende ciffer laegges til tierne traekkes fra osv sa det er lettest at beregne fra hojre mod venstre Eksempel Tallet 12042 giver derfor den alternerende tvaersum 2 4 0 2 1 3 altsa 8 modulus 11 Ikke alternerende n tvaersum Rediger Den ikke alternerende 2 tvaersum q af tallet n 36036 er q 3 60 36 99 Den er et delelighedskriterium for tallene 3 9 11 33 og 99 for det gaelder at den ikke alternerende 2 tvaersum q af et decimaltal n kan deles med et disse tal nar tallet gar op i n Den ikke alternerende 3 tvaersum af tallet n 36036 er q 36 036 72 Den er et delelighedskriterium for tallene 3 9 27 37 111 333 og 999 for det gaelder at den ikke alternerende 3 tvaersum q af et decimaltal n kan deles med et af disse tal nar tallet gar op i n Alternerende n tvaersum Rediger Den alternerende 2 tvaersum q af tallet n 36036 er q 3 60 36 21 Den er et delelighedskriterium for tallet 101 fordi den alternerende 2 tvaersum q af et decimaltal n netop kan deles med 101 nar n kan deles med 101 Den alternerende 3 tvaersum q af tallet n 36036 er q 36 036 0 Den er et delelighedskriterium for tallene 7 11 13 77 91 og 143 for det gaelder at den alternerende 3 tvaersum q af et decimaltal n kan deles med et af disse tal nar tallet gar op i n Vaegtet tvaersum Rediger En generalisering af tvaersums begrebet er den vaegtede tvaersum hvor tallets cifre forst multipliceres med vaerdierne fra en talfolge og de deraf fremkomne resultater adderes Der begyndes med mindst betydende ciffer omend raekkefolgen er ligegyldig nar det gaelder den simple tvaersum Vaegtningsfolgen kan vaere periodisk eller ikke periodisk Et eksempel er den periodiske folge 1 3 2 1 3 2 der med tallet 422625 giver folgende vaegtede tvaersum idet der begyndes med mindst betydende ciffer 5 1 2 3 6 2 2 1 2 3 4 2 5 6 12 2 6 8 7Den saledes vaegtede tvaersum udgor en delelighedsregel for tallet 7 Ogsa for andre naturlige tal kan man finde sadanne periodiske folger som f eks for 11 folgen 1 1 Denne giver den sakaldte alternerende tvaersum for 13 folgen 1 3 4 1 3 4 For de fleste divisorer er det imidlertid ikke gennemforligt at undersoge delelighed ved hjaelp af sadanne tvaersummer fordi der kun findes fa periodiske vaegtningsfolger som er lette at huske Hvis der soges efter en passende delelighedsregel for et naturligt tal m sa deler man potenserne af 10 med m Resterne fra disse divisioner udgor vaegtene Eksempel m 7 Rediger 1 displaystyle equiv nbsp 1 mod 7 10 displaystyle equiv nbsp 3 mod 7 100 displaystyle equiv nbsp 2 mod 7 1000 displaystyle equiv nbsp 1 mod 7 10000 displaystyle equiv nbsp 3 mod 7 100000 displaystyle equiv nbsp 2 mod 7 1000000 displaystyle equiv nbsp 1 mod 7 herfra gentager restene sig Vaegtningsfolgen bliver derfor 1 3 2 1 3 2 Kontrolciffer Rediger Et tals vaegtede reducerede en cifrede tvaersum benyttes ofte som kontrolciffer dvs at denne tvaersum fojes til tallet som et ekstra ciffer Derved kan der maskinelt foretages kontrol af tallets rigtighed Et dansk CPR nummer skulle nar det vaegtes med faktorerne 4 3 2 7 6 5 4 3 2 1 give 0 modulus 11 Dette blev dog afskaffet i 2007 Et internationalt standardbognummer ISBN skal nar det vaegtes med faktorerne 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 give 0 modulus 11 Et specielt problem opstar hvis kontrolcifferet skal vaere 10 for CPR numre undlod man at bruge sadanne numre for ISBN numre benyttes X som kontrolciffer En EAN stregkode skal nar den vaegtes med 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 give 0 modulus 10 Eksempel Rediger For ISBN 87 571 0689 4 er 8 10 7 9 5 8 7 7 1 6 0 5 6 4 8 3 9 2 4 1 mod 11 308 mod 11 0 displaystyle 8 cdot 10 7 cdot 9 5 cdot 8 7 cdot 7 1 cdot 6 0 cdot 5 6 cdot 4 8 cdot 3 9 cdot 2 4 cdot 1 mod 11 308 mod 11 0 nbsp altsa er dette et gyldigt ISBN 10 nummer For EAN stregkoden 4 048962 113808 er 4 1 0 3 4 1 8 3 9 1 6 3 2 1 1 3 1 1 3 3 8 1 0 3 8 1 mod 10 90 mod 10 0 displaystyle 4 cdot 1 0 cdot 3 4 cdot 1 8 cdot 3 9 cdot 1 6 cdot 3 2 cdot 1 1 cdot 3 1 cdot 1 3 cdot 3 8 cdot 1 0 cdot 3 8 cdot 1 mod 10 90 mod 10 0 nbsp altsa er dette en gyldig stregkode Tvaersumssaetning RedigerNar folgende er givet Et positionstalsystem med grundtallet n 1 hvor n N displaystyle n in mathbb N nbsp t er en divisor i n hvor t N displaystyle t in mathbb N nbsp et naturligt tal a Sa gaelder Tallet a er deleligt med t nar og kun nar dets tvaersum i dette positionssystem er deleligt med t I decimalsystemet hvor grundtallet jo er 10 er n 9 t kan derfor vaere 1 3 9 Folgelig kan man anvende tvaersumsberegningen til at afgore et tals delelighed med 3 og med 9 I det hexadecimale talsystem er n 15 hvorfor t kan vaere 1 3 5 15 Folgelig kan man anvende tvaersumsberegningen til at afgore et tals delelighed med 3 5 og med 15 Itereret tvaersum RedigerEr tvaersummen af et tal k et flercifret tal kan tvaersumsberegningen som naevnt gentages indtil resultatet er en cifret i det pagaeldende talsystem For den saledes fremkomne itererede tvaersum qs k t displaystyle operatorname qs k t nbsp gaelder idet t som ovenfor er talsystemets grundtal 1 qs k t 0 hvis k 0 t hvis k mod t 0 k mod t hvis k mod t 0 displaystyle operatorname qs k t begin cases 0 amp mbox hvis k 0 t amp mbox hvis k operatorname mod t 0 k operatorname mod t amp mbox hvis k operatorname mod t neq 0 end cases nbsp Eksempel i decimalsystemet qs 4582 9 qs 4 5 8 2 9 qs 19 9 qs 10 9 1 displaystyle operatorname qs 4582 9 operatorname qs 4 5 8 2 9 operatorname qs 19 9 operatorname qs 10 9 1 nbsp hvorved det gaelder at 4582 mod 9 1 displaystyle 4582 mod 9 1 nbsp I saerdeleshed er et positivt naturligt tal altsa deleligt med 9 nar dets itererede reducerede tvaersum er 9 Se ogsa RedigerHashfunktion og fremgangsmader i denne forbindelse Hentet fra https da wikipedia org w index php title Tvaersum amp oldid 11331937 Kontrolciffer