Ved en andengradsligning 1 2 3 forstas en ligning pa formenRodderne losningerne til en andengradsligning med koefficienterne a displaystyle a b displaystyle b og c displaystyle c kan sammenfattes i den viste ligning a x 2 b x c 0 a b c R a 0 displaystyle a cdot x 2 b cdot x c 0 quad a b c in mathbb R quad a neq 0 Storrelserne a displaystyle a b displaystyle b og c displaystyle c kaldes andengradsligningen koefficienter og x R displaystyle x in mathbb R er den ubekendte hvis vaerdi skal bestemmes med ligningen Det forste led a x 2 displaystyle a cdot x 2 kaldes andengradsleddet b x displaystyle b cdot x er forstegradsleddet og c displaystyle c er konstantleddet eller nultegradsleddet Koefficeienten a displaystyle a ma kraeves at vaere forskellig fra nul da ligningen ellers ikke er af anden grad der er ingen begraensninger pa b displaystyle b og c displaystyle c Losningerne til andengradsligningen kaldes dens rodder en andengradsligning kan have 0 1 eller 2 rodder Safremt man arbejder inden for de reele tal R displaystyle mathbb R betegnes den ubekendte normalt x displaystyle x men anden navngivning kan forekomme Hvis ligningen onskes lost inden for de komplekse tal C displaystyle mathbb C betegnes den ubekendte normalt z displaystyle z a z 2 b z c 0 a b c C a 0 displaystyle a cdot z 2 b cdot z c 0 quad a b c in mathbb C quad a neq 0 Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om komplekse tal Indholdsfortegnelse 1 Eksempler 2 Losning af en andengradsligning 2 1 Eksempler pa losninger 3 Normeret andengradsligning 4 Numerisk beregning af rodder 5 Andengradsulighed 5 1 Eksempler pa andengradsuligheder 6 KilderEksempler RedigerLigning Kommentar2 5 x 2 23 x 53 0 displaystyle 2 5 cdot x 2 23 cdot x 53 0 nbsp a 2 5 b 23 c 53 displaystyle a 2 5 b 23 c 53 nbsp 9 x 2 66 x 121 0 displaystyle 9 cdot x 2 66 cdot x 121 0 nbsp a 9 b 66 c 121 displaystyle a 9 b 66 c 121 nbsp 7 x 2 33 x 10 0 displaystyle 7 cdot x 2 33 cdot x 10 0 nbsp a 7 b 33 c 10 displaystyle a 7 b 33 c 10 nbsp 7 q 2 33 q 10 0 displaystyle 7 cdot q 2 33 cdot q 10 0 nbsp Samme ligning blot med q displaystyle q nbsp som ubekendt5 x x 2 displaystyle 5 x x 2 nbsp a 1 b 1 c 5 displaystyle a 1 b 1 c 5 nbsp eller a 1 b 1 c 5 displaystyle a 1 b 1 c 5 nbsp x 4 3 x 2 28 0 displaystyle x 4 3 cdot x 2 28 0 nbsp Iklaedt andengradsligning med x 2 displaystyle x 2 nbsp som ukendt x 4 x 2 2 displaystyle x 4 x 2 2 nbsp 2 3 x 2 3 6 x 3 0 displaystyle 2 cdot sqrt 3 cdot x 2 sqrt 3 6 cdot x 3 0 nbsp a 2 3 b 3 6 c 3 displaystyle a 2 cdot sqrt 3 b sqrt 3 6 c 3 nbsp Losning af en andengradsligning RedigerIdeen i losninger er at supplere anden og forstegradsleddene med yderligere et led saledes at de tre led kan omskrives ved hjaelp af forste kvadratsaetning som her skrives pa formen p 2 2 p q q 2 p q 2 displaystyle color Green p 2 2 cdot color Green p cdot color Red q color Red q 2 color NavyBlue p q 2 nbsp Vi skal nu prove at identificere p 2 displaystyle p 2 nbsp med andengradsleddet a x 2 displaystyle a cdot x 2 nbsp og 2 p q displaystyle 2 cdot p cdot q nbsp med forstegradsleddet b x displaystyle b cdot x nbsp Imidlertid er a x 2 displaystyle a cdot x 2 nbsp ikke et kvadrat Men det kan opnas ved at multiplicere ligningen med en snedigt valgt faktor som dels gor leddet kvadratisk og dels udskyder en traelsom division til allersidst a x 2 b x c 0 displaystyle a cdot x 2 b cdot x c 0 nbsp Den givne ligning displaystyle Updownarrow nbsp 4 a a x 2 4 a b x 4 a c 0 displaystyle 4 cdot a cdot a cdot x 2 4 cdot a cdot b cdot x 4 cdot a cdot c 0 nbsp Multiplikation med 4 a displaystyle 4 cdot a nbsp lovligt da a 0 displaystyle a neq 0 nbsp displaystyle Updownarrow nbsp 2 a x 2 2 2 a x b b 2 b 2 4 a c 0 displaystyle color Green 2 cdot a cdot x 2 2 cdot color Green 2 cdot a cdot x cdot color Red b color Red b 2 b 2 4 cdot a cdot c 0 nbsp Faktorisering og addition af b 2 b 2 displaystyle b 2 b 2 nbsp displaystyle Updownarrow nbsp 2 a x b 2 b 2 4 a c 0 displaystyle color NavyBlue 2 cdot a cdot x b 2 b 2 4 cdot a cdot c 0 nbsp Anvendelse af forste kvadratsaetning displaystyle Updownarrow nbsp 2 a x b 2 b 2 4 a c displaystyle 2 cdot a cdot x b 2 b 2 4 cdot a cdot c nbsp Konstantled flyttes til hojre side displaystyle Updownarrow nbsp 2 a x b 2 d displaystyle 2 cdot a cdot x b 2 d nbsp Kombinationen af koefficienterne betegnes d displaystyle d nbsp Vi har her indfort andengradsligningens diskriminant givet ved d b 2 4 a c displaystyle d equiv b 2 4 cdot a cdot c nbsp Diskriminantens fortegn bruges til at skelne diskriminere mellem antallet af losninger til ligningen hvilket udredes i det folgende Vi arbejder videre med den fundne ligning 2 a x b 2 d displaystyle 2 cdot a cdot x b 2 d nbsp d lt 0 displaystyle d lt 0 nbsp Venstre side er et kvadrat og derfor ikke negativ Hojre side er negativ Lighedstegnet er derfor ikke opfyldt Andengradsligningen har ingen losninger d 0 displaystyle d 0 nbsp 2 a x b 0 displaystyle 2 cdot a cdot x b 0 nbsp Anvendelse af nulreglen x b 2 a displaystyle x frac b 2 cdot a nbsp Lovlig division da a 0 displaystyle a neq 0 nbsp Andengradsligningen har en losning x b 2 a displaystyle x frac b 2 cdot a nbsp d gt 0 displaystyle d gt 0 nbsp 2 a x b 2 d 2 0 displaystyle 2 cdot a cdot x b 2 sqrt d 2 0 nbsp Diskriminanten omskrives til d d 2 displaystyle d sqrt d 2 nbsp 2 a x b d 2 a x b d 0 displaystyle 2 cdot a cdot x b sqrt d cdot 2 cdot a cdot x b sqrt d 0 nbsp Tredje kvadratsaetning benyttes 2 a x b d 0 2 a x b d 0 displaystyle 2 cdot a cdot x b sqrt d 0 lor 2 cdot a cdot x b sqrt d 0 nbsp Anvendelse af nulreglen x b d 2 a x b d 2 a displaystyle left x frac b sqrt d 2 cdot a right lor left x frac b sqrt d 2 cdot a right nbsp Lovlig division da a 0 displaystyle a neq 0 nbsp Andengradsligningen har to losninger x b d 2 a displaystyle x frac b sqrt d 2 cdot a nbsp og x b d 2 a displaystyle x frac b sqrt d 2 cdot a nbsp Eksempler pa losninger Rediger I alle tilfaelde starter man med at beregne diskriminanten d displaystyle d nbsp Ligning Losning2 5 x 2 23 x 53 0 displaystyle 2 5 cdot x 2 23 cdot x 53 0 nbsp d 23 2 4 2 5 53 1 displaystyle d 23 2 4 cdot 2 5 cdot 53 1 nbsp Ingen losninger9 x 2 66 x 121 0 displaystyle 9 cdot x 2 66 cdot x 121 0 nbsp d 66 2 4 9 121 0 displaystyle d 66 2 4 cdot 9 cdot 121 0 nbsp En losning x 66 2 9 11 3 displaystyle x tfrac 66 2 cdot 9 tfrac 11 3 nbsp 7 x 2 33 x 10 0 displaystyle 7 cdot x 2 33 cdot x 10 0 nbsp d 33 2 4 7 10 1369 37 2 displaystyle d 33 2 4 cdot 7 cdot 10 1369 37 2 nbsp To losninger x 33 37 14 x 33 37 14 displaystyle x tfrac 33 37 14 lor x tfrac 33 37 14 quad Leftrightarrow nbsp x 2 7 x 5 displaystyle x tfrac 2 7 lor x 5 nbsp x 2 x 5 0 displaystyle x 2 x 5 0 nbsp d 1 2 4 1 5 21 displaystyle d 1 2 4 cdot 1 cdot 5 21 nbsp To losninger x 1 21 2 2 791 288 displaystyle x tfrac 1 sqrt 21 2 approx 2 791 288 lor nbsp x 1 21 2 1 791 288 displaystyle x tfrac 1 sqrt 21 2 approx 1 791 288 nbsp x 4 3 x 2 28 0 displaystyle x 4 3 cdot x 2 28 0 nbsp d 3 2 4 1 28 121 11 2 displaystyle d 3 2 4 cdot 1 cdot 28 121 11 2 nbsp x 2 3 11 2 7 x 2 3 11 2 4 displaystyle x 2 tfrac 3 11 2 7 lor x 2 tfrac 3 11 2 4 quad Leftrightarrow nbsp x 2 4 x 2 x 2 displaystyle x 2 4 quad Leftrightarrow quad x 2 lor x 2 nbsp 2 3 x 2 3 6 x 3 0 displaystyle 2 cdot sqrt 3 cdot x 2 sqrt 3 6 cdot x 3 0 nbsp d 3 6 2 4 2 3 3 displaystyle d sqrt 3 6 2 4 cdot 2 cdot sqrt 3 cdot 3 nbsp 3 36 12 3 24 3 displaystyle 3 36 12 cdot sqrt 3 24 cdot sqrt 3 nbsp 39 12 3 6 3 2 displaystyle 39 12 cdot sqrt 3 6 sqrt 3 2 nbsp x 3 6 6 3 4 3 2 3 4 3 displaystyle left x frac sqrt 3 6 6 sqrt 3 4 cdot sqrt 3 frac 2 cdot sqrt 3 4 cdot sqrt 3 right lor nbsp x 3 6 6 3 4 3 12 4 3 3 3 displaystyle left x frac sqrt 3 6 6 sqrt 3 4 cdot sqrt 3 frac 12 4 cdot sqrt 3 cdot frac sqrt 3 sqrt 3 right nbsp x 1 2 x 3 displaystyle x tfrac 1 2 lor x sqrt 3 nbsp Normeret andengradsligning RedigerDa a 0 displaystyle a neq 0 nbsp kan enhver andengradsligning divideres igennem med a displaystyle a nbsp hvorved den far formen x 2 s x t 0 s t R displaystyle x 2 s cdot x t 0 quad s t in mathbb R nbsp Ligningen siges nu at vaere normeret 4 En normeret andengradsligning med to rodder p displaystyle p nbsp og q displaystyle q nbsp kan ifolge nul reglen skrives pa formen 5 x p x q 0 displaystyle x p cdot x q 0 nbsp eller x 2 p q x p q 0 displaystyle x 2 p q cdot x p cdot q 0 nbsp Ved sammenligning af de to udtryk ser vi at p q s displaystyle p q s nbsp Roddernes sum er koefficienten til forstegradsleddet med modsat fortegnp q t displaystyle p cdot q t nbsp Roddernes produkt er lig konstantleddet Har man en formodning om at en forelagt ligning har to simple rodder kan man undertiden bruge disse regler til ved hovedregning at finde rodderne man siger uformelt at man kaster et skarpt blik pa ligningen Eksempel I ligningen x 2 9 x 14 0 displaystyle x 2 9 cdot x 14 0 nbsp er konstantleddet lig 14 displaystyle 14 nbsp der kan vaere produktet af 1 displaystyle 1 nbsp og 14 displaystyle 14 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp og 7 displaystyle 7 nbsp samt 1 displaystyle 1 nbsp og 14 displaystyle 14 nbsp og 2 displaystyle 2 nbsp og 7 displaystyle 7 nbsp Da summen skal vaere 9 displaystyle 9 nbsp ma rodderne vaere 2 displaystyle 2 nbsp og 7 displaystyle 7 nbsp Numerisk beregning af rodder RedigerMed ovenstaende formler er andengradsligningen a x 2 b x c 0 displaystyle a cdot x 2 b cdot x c 0 nbsp lost matematisk Men ved praktisk beregning kan der opsta et problem med ciffertab ved subtraktion af to naesten lige store storrelser fordi beregningen sker med et endeligt antal betydende cifre for eksempel yder regnearket Excel 14 15 betydende cifre side pa engelsk I losningsformlen for en andengradsligning indgar de to storrelser b d displaystyle b sqrt d nbsp og b d displaystyle b sqrt d nbsp Hvis b 0 123 456 789 012 34 displaystyle b 0 123 456 789 012 34 nbsp d 0 123 456 789 012 33 displaystyle sqrt d 0 123 456 789 012 33 nbsp sa bliver differensen b d 0 000 000 000 000 01 displaystyle b sqrt d 0 000 000 000 000 01 nbsp med et katastrofalt tab i antallet af betydende cifre Dette problem kan man imidlertid undga ved at udnytte at roddernes produkt jfr forrige afsnit er x 1 x 2 c a displaystyle x 1 cdot x 2 c a nbsp Algoritmen bliver derfor folgende Beregn diskriminanten d displaystyle d nbsp der her antages positiv Hvis b 0 displaystyle b geqq 0 nbsp sa er bade b displaystyle b nbsp og d displaystyle sqrt d nbsp negative Saet x 1 b d 2 a displaystyle x 1 frac b sqrt d 2 cdot a nbsp og x 2 c a x 1 displaystyle x 2 frac c a cdot x 1 nbsp Hvis b lt 0 displaystyle b lt 0 nbsp sa er bade b displaystyle b nbsp og d displaystyle sqrt d nbsp positive Saet x 2 b d 2 a displaystyle x 2 frac b sqrt d 2 cdot a nbsp og x 1 c a x 2 displaystyle x 1 frac c a cdot x 2 nbsp Eksempel Andengradsligningen x 2 10 n 10 n x 1 0 n N displaystyle x 2 10 n 10 n cdot x 1 0 quad n in mathbb N nbsp er konstrueret til at have de eksakte rodder 10 n displaystyle 10 n nbsp og 10 n displaystyle 10 n nbsp Dens diskriminant er d 10 2 n 2 10 2 n displaystyle d 10 2 cdot n 2 10 2 cdot n nbsp Vaelges n 3 displaystyle n 3 nbsp fas ligningen x 2 1000 001 x 1 0 displaystyle x 2 1000 001 cdot x 1 0 nbsp og diskriminanten d 999 998 000 001 displaystyle d 999 998 000 001 nbsp Tabellen herunder viser hvike resultater man nar frem til med de matematiske formler for x 1 displaystyle x 1 nbsp og x 2 displaystyle x 2 nbsp og den numeriske formel for x 1 displaystyle x 1 nbsp safremt alle beregninger udfores med 6 betydende cifre n displaystyle n nbsp b displaystyle b nbsp b 2 displaystyle b 2 nbsp d displaystyle d nbsp d displaystyle sqrt d nbsp b d displaystyle b sqrt d nbsp b d displaystyle b sqrt d nbsp x 1 displaystyle x 1 nbsp Klassisk x 2 displaystyle x 2 nbsp Klassisk x 1 displaystyle x 1 nbsp Fra x 2 displaystyle x 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 10 1 displaystyle 10 1 nbsp 102 010 displaystyle 102 010 nbsp 98 01 displaystyle 98 01 nbsp 9 9 displaystyle 9 9 nbsp 0 200000 displaystyle 0 200000 nbsp 20 displaystyle 20 nbsp 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 100 01 displaystyle 100 01 nbsp 10002 displaystyle 10002 nbsp 9998 00 displaystyle 9998 00 nbsp 99 99 displaystyle 99 99 nbsp 0 02001 displaystyle 0 02001 nbsp 200 displaystyle 200 nbsp 0 01 displaystyle 0 01 nbsp 100 displaystyle 100 nbsp 0 01 displaystyle 0 01 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 1000 displaystyle 1000 nbsp 1000000 displaystyle 1000000 nbsp 999996 displaystyle 999996 nbsp 999 998 displaystyle 999 998 nbsp 0 00200000 displaystyle 0 00200000 nbsp 2000 displaystyle 2000 nbsp 0 001 displaystyle 0 001 nbsp 1000 displaystyle 1000 nbsp 0 001 displaystyle 0 001 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 10 4 displaystyle 10 4 nbsp 10 8 displaystyle 10 8 nbsp 10 8 displaystyle 10 8 nbsp 10 4 displaystyle 10 4 nbsp 0 displaystyle color BurntOrange 0 nbsp 20000 displaystyle 20000 nbsp 0 displaystyle color BurntOrange 0 nbsp 10000 displaystyle 10000 nbsp 0 0001 displaystyle color Green 0 0001 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 10 5 displaystyle 10 5 nbsp 10 10 displaystyle 10 10 nbsp 10 10 displaystyle 10 10 nbsp 10 5 displaystyle 10 5 nbsp 0 displaystyle color BurntOrange 0 nbsp 200000 displaystyle 200000 nbsp 0 displaystyle color BurntOrange 0 nbsp 100000 displaystyle 100000 nbsp 0 00001 displaystyle color Green 0 00001 nbsp Som det ses svigter den klassiske metode i de to sidste situationer medens den modificerede fremgangsmade leverer korrekte rodder Andengradsulighed RedigerEn andengradsulighed 6 er et abent udsagn af typen a x 2 b x c lt 0 displaystyle a cdot x 2 b cdot x c lt 0 nbsp a x 2 b x c 0 displaystyle a cdot x 2 b cdot x c leqq 0 nbsp a x 2 b x c gt 0 displaystyle a cdot x 2 b cdot x c gt 0 nbsp a x 2 b x c 0 displaystyle a cdot x 2 b cdot x c geqq 0 nbsp hvor a b c R a 0 displaystyle a b c in mathbb R quad a neq 0 nbsp Losningsmaengden L displaystyle L nbsp dvs samlingen ef x displaystyle x nbsp vaerdier som gor det abne udsagn sandt findes ved forst at lose den tilhorende andengradsligning a x 2 b x c 0 displaystyle a cdot x 2 b cdot x c 0 nbsp og derefter foretage en fortegnsundersogelse for det tilhorende andengradspolynomium P x a x 2 b x c displaystyle P x a cdot x 2 b cdot x c nbsp Eksempler pa andengradsuligheder Rediger Eksempel 1 x 2 6 x 5 lt 0 displaystyle x 2 6 cdot x 5 lt 0 nbsp Den tilhorende andengradsligning x 2 6 x 5 0 displaystyle x 2 6 cdot x 5 0 nbsp ses ved anvendelse af losningsmetoden ovenfor eller ved at kaste et skarpt blik pa den at have rodderne 5 displaystyle 5 nbsp og 1 displaystyle 1 nbsp Saettes x 0 displaystyle x 0 nbsp fas resultatet 5 displaystyle 5 nbsp der ikke er mindre end nul nbsp Fortegnsaksen viser nulpunkter og fortegnsvariation for andengradspolynomiet P x x 2 6 x 5 displaystyle P x x 2 6 cdot x 5 nbsp Polynomiets fortegnsvariation ma da vaere som vist pa fortegnsaksen herover Losningsmaengden L displaystyle L nbsp kan nu aflaeses x 2 6 x 5 lt 0 L 5 1 displaystyle x 2 6 cdot x 5 lt 0 quad Rightarrow quad L 5 1 nbsp Eksempel 2 x 2 6 x 5 0 L 5 1 displaystyle x 2 6 cdot x 5 leqq 0 quad Rightarrow quad L 5 1 nbsp Eksempel 3 x 2 6 x 5 gt 0 L 5 1 displaystyle x 2 6 cdot x 5 gt 0 quad Rightarrow quad L infty 5 cup 1 infty nbsp Eksempel 4 nbsp Grafer P displaystyle mathcal P nbsp og Q displaystyle mathcal Q nbsp for de to andengradspolynomier P x x 2 6 x 5 displaystyle P x x 2 6 cdot x 5 nbsp og Q x 1 4 x 2 47 4 displaystyle Q x tfrac 1 4 cdot x 2 tfrac 47 4 nbsp Losningsmaengden til andengradsuligheden P x lt 0 displaystyle P x lt 0 nbsp er vist med et rodt lijestykke Losningsmaengden til uligheden P x gt Q x displaystyle P x gt Q x nbsp er vist med to bla halvlinjer x 2 6 x 5 1 4 x 2 47 4 displaystyle x 2 6 cdot x 5 geqq tfrac 1 4 cdot x 2 tfrac 47 4 nbsp Uligheden omskrives til standardform 4 x 2 24 x 20 x 2 47 3 x 2 24 x 27 0 x 2 8 x 9 0 displaystyle 4 cdot x 2 24 cdot x 20 geqq x 2 47 quad Rightarrow quad 3 cdot x 2 24 cdot x 27 geqq 0 quad Rightarrow quad quad x 2 8 cdot x 9 geqq 0 nbsp Andengradsligningen x 2 8 x 9 0 displaystyle x 2 8 cdot x 9 0 nbsp har rodderne 9 displaystyle 9 nbsp og 1 displaystyle 1 nbsp og da udtrykkets vaerdi for x 0 displaystyle x 0 nbsp er negativt ligger losningsmaengden uden for rodintervallet L 9 1 displaystyle L infty 9 cup 1 infty nbsp Losningerne kan illustreres ved at tegne graferne for de to involverede andengradspolynomier P x x 2 6 x 5 displaystyle P x x 2 6 cdot x 5 quad nbsp ogQ x 1 4 x 2 47 4 displaystyle quad Q x tfrac 1 4 cdot x 2 tfrac 47 4 nbsp Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at sporge om for hvilke x displaystyle x nbsp vaerdier grafen for P displaystyle P nbsp ligger under forsteaksen medens dobbeltuligheden svar til at sporge om for hvilke x displaystyle x nbsp vaerdier grafen for P displaystyle P nbsp ligger over eller pa grafen for Q displaystyle Q nbsp Kilder Rediger Erik Kristensen Ole Rindung Matematik I G E C Gads Forlag 1968 side 156 f Jens Carstensen Jesper Frandsen Matematik 1 Systime 1988 side 45 f Esper Fogh Knud Erik Nielsen Vejen til matematik AB 1 Forlaget Hax 2005 side 43 f Kristensen og Rindung side 162 Holth Klaus m fl 1987 Matematik Grundbog 1 Forlaget Trip Vejle ISBN 87 88049 18 3 s 117 Kristensen og Rindung side 161 Hentet fra https da wikipedia org w index php title Andengradsligning amp oldid 11507960
